Chapter 9 of Ramanujan's Second Notebook: Infinite Series by Bruce C. Berndt

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By Bruce C. Berndt

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5. Der Satz von 33 KUNNETH /\ dyj, /\ ... /\ dyj, gesetzt. 2. 1: IXKoH(X) ek H mit Ko = {I, 2, ... 3. p und ek das H entsprechende Element der kanonischen Basis des zu 1\ Rm dualen Raumes ist (vgl. 1)). Man beachte, daB daraus (OiW)x = 0 folgt, wenn die C]{oH samtlich 0 sind. 4. (fl ist das Lebesguesche MaB auf Rn), denn die Karten 1fJi erhalten die Orientierung. 6) ergibt sich f dann, daB die p-Form Trager besitzt. 9. 1. 1) ist. Man erhalt dann dw = 1: dCKH(X, y) /\ dyK /\ dx H . 2. (dw)x = 1: (1: e(j, H) H = 1: dyCf{H /\ dyK.

1) ist abel' J tf(w) WIesen. w! Jtf(w); w! = E(xi) J w v = c:(xi)' Damit ist die Behauptung be. 5. Beispiele. I. Wir setzen X = Y = Sn; wie wir gesehen haben, gilt fur die Raumwinkelform u (vgl. 10)) ts(u) = (det s) rJ, wenn s E O(n + 1, R) eine orthogonale Transformation ist; es ist also deg s = det s. Insbesondere hat die Symmetrie x --+ - x den Grad (_1)n+ 1. II. 9.

2) auf die offenen Mengen U 1 = Sn "" Dr+ und U 2 = Sn "" D; an, fur die U 1 n U z = Sn "" Lr und U 1 u U 2 = Sn "" Lr-l ist, wobei mit L r- 1 das Bild von Sr-l = Dr+ n D,-:- vermoge f bezeiehnet wurde. 2. 3. o -)- H~-I(Sn "" Lr-d --+ H~(Sn "" Lr) -)- H2 --+ H~'(Sn "" Lr-d --+ O. fUr p;::;; n - 2, Es werden zwei Falle untersehieden, namlieh r ;::;; n - 1 und r = n. 1) durch Induktion naeh r. 8). Wir nehmen jetzt an, diese Beziehungen seien fUr r ;::;; n - 2 erftillt. Der dritten Beziehung zufolge ist Sn "" Lr zusammenhangend (vgl.

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