Analysis in historischer Entwicklung by Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Andreas Lochmann

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By Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Andreas Lochmann

Diese Einführung in die research orientiert sich in ihrem Aufbau an der zeitlichen Entwicklung der Themen. Die ersten zwei Kapitel schlagen den Bogen von historischen Berechnungsmethoden praktischer Problemen hin zu unendlichen Reihen, Differential- und Integralrechnung und zu Differentialgleichungen. Das Etablieren einer mathematisch stringenten Denkhaltung im 19. Jahrhundert für research ein und mehrerer Variablen wird in den Kapiteln III und IV behandelt. Viele Beispiele, Berechnungen und Bilder ergänzen das Buch und machen es zu einem Lesevergnügen für Studierende, Lehrer und Forscher. Aus den Besprechungen: the purpose of this fascinating new contribution to the sequence Readings in arithmetic is an try and restoration the historic order within the presentation of easy mathematical analysis...such a historic method gives you a truly fruitful and fascinating method of mathematical research. Jean Mawhin, Zentralblatt The authors contain a number of once-traditional matters that have now vanished from the research curriculum. ...The paintings is particularly good illustrated. The publication is well an research textual content, instead of a historical past, yet loads of trustworthy historic fabric is integrated. For these looking an alternative choice to the conventional procedure, it kind of feels to me to be of serious curiosity. Thomas Archibald, Mathematical experiences The authors...have assembled a powerful array of annotated effects, quotations, tables, charts, figures and drawings, many copied from unique documents....they write with nice enthusiasm and with obtrusive affection for either research and background. John Troutman, American Mathematical Monthly

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Diese Schreibweise hatte sich nur langsam durchgesetzt, haupts¨achlich dank den Arbeiten von Bombelli im Jahr 1572, Simon Stevin in 1585, Descartes und Newton (siehe Zitat). 2) an · am = an+m . 1) ist jeder Term das a-fache seines Vorg¨angers. Wir k¨onnen diese Folge auch nach links hin fortsetzen, indem wir die Zahlen durch a teilen. Dies f¨uhrt zu 1 1 . . a−2 = , a−1 = , a0 = 1, a1 = a, a2 = a · a, . . 3) a−m = m . 2) auch f¨ur negative Exponenten. Wenn wir nun mehrfach a an 1 multiplizieren, wobei a eine positive Zahl sein muss, erhalten wir die geometrische Folge √ √ √ √ √ √ √ √ 1, a, a · a = a, a · a · a = a3 , a4 = a2 , .

12)). Sei nun θ = 1 − ε mit kleinem ε. Dann ist 1 − θ = ε, θa+1 = 1 − (a + 1)ε + . . 2. Wir finden 1−θ ε 1 ≈ = f¨ur ε → 0. 12) approximiert die Fl¨ache S von oben (f¨ur a > −1). Wenn wir nun die H¨ohen der Rechtecke durch θa B a , θ2a B a , . . ersetzen, erhalten wir eine Approximation von S von unten. 12) schlicht mit θa multipliziert, was f¨ur θ → 1 gegen 1 strebt. Damit m¨ussen beide N¨aherungen gegen denselben Wert streben, wir erhalten das folgende Resultat. 2) Satz (Fermat 1636). Die Fl¨ache unter der Kurve y = xa zwischen den Schranken x = 0 und x = B ist gegeben durch S= B a+1 a+1 falls a > −1.

Dies ist genau die Formel, die auf Newtons Grabstein in Westminster Abbey 1727 eingraviert wurde. Versuchen Sie nicht, sie zu finden . . in den letzten hundert Jahren war die Formel unlesbar. Die Exponentialfunktion . . ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (erste Definition von e; Euler 1736b, Mechanica, S. 60) Urspr¨unge. 1. F. de Beaune (1601–1652) war der erste Leser von Descartes’ G´eo” m´etrie“ aus dem Jahr 1637. Ein Jahr sp¨ater stellte er Descartes das folgende geometrische Problem: Man finde eine Kurve y(x), so dass f¨ur jeden Punkt P der Abstand zwischen den Punkten V und T, die die Schnittpunkte zwischen der x-Achse und der vertikalen bzw.

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