Analysis 2 by Wolfgang Walter (auth.)

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By Wolfgang Walter (auth.)

Das Hauptthema dieses zweiten Bandes ist die Differential- und Integralrechnung f?r Funktionen von mehreren Ver?nderlichen. Dabei wird auch das Lebesguesche necessary im ?n behandelt. Dem erfolgreichen Konzept von Analysis 1 folgend, wird viel Wert auf historische Zusammenh?nge, Ausblicke und die Entwicklung der research gelegt. Zu den Besonderheiten, die ?ber den kanonischen Stoff des zweiten Semesters hinausgehen, geh?ren das Morsesche und das Sardsche Lemma, die C?- Approximation von Funktionen (Mollifiers) und die Theorie der absolutstetigen Funktionen. Die Grundtatsachen ?ber die verschiedenen Integralbegriffe werden allesamt aus S?tzen ?ber den Netzlimes abgeleitet. Bei den Fourierreihen wird die klassische Theorie in Weiterf?hrung einer von Chernoff und Redheffer entwickelten Methode behandelt. Zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie, runden dieses Lehrbuch ab.

Der Abschnitt "L?sungen und L?sungshinweise" wurde f?r die Neuauflage wesentlich erweitert, so da? die ?berwiegende Zahl der Aufgaben im Buch nun besprochen oder vollst?ndig gel?st wird.

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3] verwiesen. (a) Jedes Element x E IRn besitzt bezüglich der Orthonormalbasis Cl, ... , cn eine eindeutige Darstellung mit Ai = (x, Ci) . (b) Orthonormale Vektoren Cl, ... , Ck (l ~ k < n lassen sich durch Hinzufügen geeigneter Vektoren Ck+l, ... , Cn zu einer Orthonomalbasis Cl, •.. , cn erweitern. (c) Orthogonale Matrizen. Faßt man die Spaltenvektoren Cl, ••• , Cn zu einer Matrix C = (Cl, . •. ,Cn ) zusammen, so gilt: Genau dann bilden die Ci eine Orthonormalbasis, wenn C TC = E (Einheitsmatrix) ist.

Den Beweis wollen wir dem Leser überlassen. Beispiel. Es sei A eine symmetrische n x n-Matrix. ~j=1 a,jxjxj ist genau dann konvex im Rn, wenn die Matrix A positiv semidefinit ist. i2 d T Ad ist nämlich genau dann konvex, wenn d T Ad ~ 0 ist. d T Ad ~ 0 für alle d ERn" notwendig und hinreichend für die Konvexität von f. Aufgaben 1. Ableitung einer Menge. Es sei Meine Teilmenge eines metrischen Raumes und M' die Menge der Häufungspunkte in M. Man zeige, daß M' abgeschlossen ist. Cantor hat die Menge M' Ableitung von M genannt und auch höhere Ableitungen M" := (M')" ...

Die Menge K c IR" sei abgeschlossen und konvex. 22 haben wir gesehen, daß zu jedem Punkt x E IR" ein eindeutig bestimmter nächster Punkt u = Px E K mit Ix ~ ul = d(x, K) existiert (für x E K ist Px = x). 1 Grenzwert und Stetigkeit 43 y Abstandsfunktion Projektion auf eine konvexe Menge genügt, also insbesondere stetig ist. Die Abbildung P wird (metrische) Projektion auf K oder Lotfußpunktabbildung genannt; sie hat die Eigenschaft PIK = id K . Offenbar gilt (*), wenn x oder y aus K ist. Es sei also x,y r/:.

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