Analysis 1 by Oliver Deiser (auth.)

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By Oliver Deiser (auth.)

Das Buch, das nun in verbesserter und erweiterter Auflage vorliegt, gibt eine systematische und verständliche Einführung in die folgenden Themen der mathematischen research: Reelle und komplexe Zahlen, Folgen und Reihen, Stetige Funktionen, Differentiation. Es wendet sich speziell an Studierende des Lehramts Mathematik an Gymnasien, ohne dabei den Anschluss an das Fachstudium zu verlieren. Neben etwa 2 hundred Übungsaufgaben enthält es zwölf Sektionen mit Ergänzungsübungen, die die Anbindung des neu erlernten Wissens an das Schulwissen erleichtern. In einem zweiten Band werden neben einer ausführlichen Darstellung der Integration, topologischer Grundbegriffe und der mehrdimensionalen Differentiation auch Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt.

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Der Beweis zeigt, dass das Vollständigkeitsaxiom die Archimedische Anordnung impliziert. Eine Folgerung der Archimedischen Anordnung ist nun: Korollar (‫ ޑ‬ist dicht in ‫)ޒ‬ Die rationalen Zahlen sind dicht in den reellen Zahlen, d. : Für alle reellen Zahlen x, y gibt es eine rationale Zahl q zwischen x und y. Beweis Ohne Einschränkung ist 0 < x < y. Sei ε = y − x. Nach dem Satz gibt es ein n ≥ 1, mit 1/n < ε. Weiter gibt es nach dem Satz ein m mit m/n > x. Wir wählen zudem m kleinstmöglich, sodass m/n > x.

Vollständigkeitsaxiom) Das Axiom besagt anschaulich, dass der Prozess des Vergrößerns bzw. Verkleinerns von Schranken s ≤ X bzw. s ≥ X stets bis zur Berührung der Menge X durchgeführt werden kann, es sei denn, X ist leer oder es existiert gar keine untere bzw. obere Schranke von X. Gilt (V) in einem angeordneten Körper (K, +, ⋅, <), so heißt der Körper vollständig angeordnet. Die Aussage (V) heißt auch das Vollständigkeitsaxiom. Die reellen Zahlen (‫ޒ‬, +, ⋅, <) bilden einen vollständig angeordneten Körper.

Ein (rechter) Dedekindscher Schnitt in ‫ ޑ‬ist eine Menge R ⊆ ‫ ޑ‬mit: (S1) R ≠ ∅. (S2) Ist q ∈ R und r ∈ ‫ ޑ‬größer als q, so ist r ∈ R. (S3) Existiert inf(R) in ‫ޑ‬, so ist inf(R) ∉ R. ‫ ޑ‬− R R Der Schnitt R (eine Teilmenge von ‫ )ޑ‬wird durch die Konstruktion zu einer reellen Zahl. Anschaulich wird er zum durch die gestrichelte Linie angedeuteten Punkt. 4. Ordnungseigenschaften von ‫ޒ‬ 57 Wir setzen nun ‫ { = ޒ‬R ⊆ ‫ | ޑ‬R ist ein Schnitt in ‫} ޑ‬. Indem wir für jede rationale Zahl q den Schnitt Rq = { r ∈ ‫ | ޑ‬r > q } mit q identifizieren, können wir ‫ ޒ ⊆ ޑ‬annehmen.

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